【作　　者】
王子豪，朱晓峰

【作者单位】
南京工业大学经济与管理学院，南京211816

【摘　　要】

   【摘要】本文在考虑缺货成本和需求不确定的情况下，建立了以库存成本最低为目标函数、以订货批量与订货点为决策变量的决策模型；然后通过目标函数求解，证明了该模型为二维凹函数，并给出了最优解；最后，通过数值实例验证了该模型的有效性。
【关键词】经济订货批量；需求不确定；订货点；安全库存
【中图分类号】F274           【文献标识码】A           【文章编号】1004-0994（2016）33-0101-3一、引言
库存控制是供应链管理研究的重要环节，1915年Harris第一次提出经济订购批量模型（EOQ）。EOQ为周期库存模型的研究奠定了基础，很多学者基于该模型开展了相关研究。郑惠莉等（2003）提出了需求和采购价均为时变的EOQ模型，并给出了寻求最佳采购次数及服务水平的算法；张钦等（2002）给出了基于Stackelberg博弈的EOQ模型。
但上述研究没有考虑“需求不确定”，不符合现实情况。基于此，学者们开始从“需求不确定”角度进行深入研究。楼润平等（2008）提出了需求不确定下的安全库存计算公式；钱存华、苏苗泉（2011）提出了基于累积损伤过程的随机需求下订购时间间隔模型；徐鹏、王勇（2011）给出了存货质押融资业务下的经济订货批量模型；蒋昕等（2015）指出存货经济订货批量“基本模型”理论上已经过时，给出了经济订货批量“修正的基本模型”。
然而，已有研究没有考虑需求不确定与缺货损失成本这两种条件同时作用的情况。本文针对需求率不确定条件下单品种多周期最优订货批量和订货点问题进行研究，并得出通解，为企业的随机库存管理提供理论依据和方法。
二、模型建立及求解
本文针对某一中小型零售商的单品种商品的多周期条件下库存管理进行研究。由于较多的外界因素影响，产品需求存在不确定性（本文假设其服从随机分布）。考虑产品的取得成本、产品的库存成本及缺货成本，构建库存管理的总成本为目标函数；通过优化分析，得出该条件下最优订货批量与最优订货点。本文的模型允许缺货，且上一周期剩余的商品可储存一个周期后补充到下一周期售出，作为补充下一周期的商品来匹配需求。
文章涉及的参数说明具体如下：Q表示存货的每次进货量；RL表示订货点，当库存降到此处时订货；TC表示总成本；U表示单位产品的购入单价；F1表示订货一次的固定成本；F2表示固定储存成本；D表示存货的总需求量；Kc表示变动储存成本；Q"表示平均库存；d"表示需求率，由于客户需求的不确定性，假设d" ~ u（a，b）均匀分布，a、b为常数；d表示需求率期望，由d"决定，这里为（b-a）/2；K表示每次订货的变动成本；CS表示每缺货一个单位损失费用；LT表示订货提前期，发出订单后货物到达所需时间。
目标函数为：
TC=F1+[TdQ]K+TdU+F2+[KC(Q+RL-LTd)2]+
Cs[TdQ(bLT-RL)22(b-a)] （1）
式（1）中：F1+[TdQ]K+TdU为取得成本，包括订货的固定成本、订货的变动成本和购置成本；F2+[KC(Q+RL-LTd)2]为产品的库存成本，与存货数量有关，其中包括固定成本和变动成本；Cs[TdQ(bLT-RL)22(b-a)]为产品的缺货成本，与缺货量有关。三者之和，就是周期内成总本TC。
　求目标函数的一、二阶偏导数：
[∂TC∂Q=-TdKQ2+KC2-CSTd(bLT-RL)22Q2(b-a)]；[∂TC∂RL=Kc2+]为Q∗，且RL的取值为RL∗时，TC取得最优解。
三、算例分析与仿真
假设d" ~ u（0，160），T=100，K=240，Kc=3，Cs=3，LT=4，因为F1、F2、U均不影响最优解，所以这里不作讨论。通过计算得出：Q∗=1134，RL∗=628。
Matlab仿真需求如图1所示。图1中横坐标为时间周期，纵坐标为在对应时间内的需求率变化。通过仿真结果不难看出，需求率杂乱没有规则。

图2为累计需求与时间周期的关系，横坐标为时间周期，纵坐标为累计的需求量。由图2可知，尽管需求率没有特定的规则，但是可以看出累计需求与时间正相关。这点为我们利用改进的EOQ来建立模型提供了依据。
应用图1和图2数据，建立模型，设期初库存为一定值，库存量会随着时间而减少，当库存量达到一定值时，提出订货请求，经过一个订货提前期货物到达。图3为Q∗=1134、RL∗=628时的库存仿真变化图，与传统EOQ库存模型不同的是：库存的下降速率在随机发生变化，在特定的时间库存量降到零以下，但是在传统的EOQ模型中是不会允许缺货的。图3中库存成本仿真结果为3614。将Q∗=1134、RL∗=628代入式（1），计算结果为3865。由于需求的不确定性，可以将计算结果与仿真结果近似看作相互吻合。

为了模拟现实的决策，本文对订货批量与订货点同时进行仿真模拟，其他参数不变。用Matlab运行160×160次，计算出订货批量、订货点与成本的三维图如图4，即成本为订货批量与点货点的凹图形。得出现实中存在一组与Q∗和RL∗相似的最优解，为求得最优解提供了可能。

令RL（订货点）不变，控制订货批量，其余参数不变，用Matlab运行1600次，计算并画出成本曲线，如图5。可知成本为订货批量的凹函数，且订货批量为1200左右时成本最小。在订货批量为（400，1200）的区间范围内，成本呈现不断减小的趋势；在订货批量为（1200， 2000）的区间范围内，成本呈现不断增加的趋势。所以从图5可以得出，企业可以适当调节订货批量，使其订货批量满足图5中的最优解，则可最大限度地节约企业的成本。
仍令订货点不变，控制订货批量，改变K（每次订货的变动成本），其余参数不变，用Matlab运行1600次，计算并画出三种不同K的库存成本曲线，如图6所示。从图6中的仿真结果可以看出：①每次订货的变动成本与总成本呈现正相关关系，每次订货的变动成本越高，则总成本越高；②每次订货的变动成本越高，则目标函数的最优解Q∗越大。

令Q订货批量不变，控制订货点，其余参数不变，用Matlab运行1600次，计算并画出成本曲线，如图7所示。从图7中可以看出，成本为订货点的凹函数，且在订货点为900左右时成本最小。在订货点为（400，900）的区间内，成本呈现不断减小的趋势；在订货点为（900，2000）的区间内，成本呈现不断增加的趋势。所以从图7中可以得出，企业可以适当地调节订货点，使其订货点满足图7中最优值，则可到最大限度地节约企业成本。
图8中的仿真训练为：控制Q订货批量不变，改变CS缺货成本并控制订货点变化，其余参数不变。用Matlab运行1600次，得出三种不同缺货成本的库存成本曲线。从图8可以看出：①缺货成本与总成本呈正相关关系，缺货成本越高，则总成本越高；②缺货成本越高，则订货点越高。
四、结语
本文通过研究缺货成本、变动存储成本和订货成本这三大影响因子，构建基于需求不确定性条件下的库存量设定模型，从而生成多周期下的总库存成本函数。通过优化分析得出，在需求不确定下考虑缺货成本的最优订货批量与订货点，并讨论每次订货的变动成本与订货批量的关系、缺货成本与订货点的关系。研究结果表明：①需求不确定的库存管理，存在一对最优的订货批量与订货点，使得库存的总成本最低，且总成本、订货批量、订货点三者为凹函数；②缺货成本与订货点呈正相关关系，订货的变动成本与订货批量呈正相关关系。

主要参考文献：
郑惠莉，达庆利．一种需求和采购价均为时变的EOQ模型［J］．中国管理科学，2003（5）．
钱存华，苏苗泉．基于累积损伤过程的随机需求下订购时间间隔模型［J］．南京工业大学学报（自然科学版），2011（6）．