【作 者】
马 冀（副教授）
【作者单位】
陕西财经职业技术学院会计系，陕西咸阳712000
【摘 要】
【摘要】复式记账法是生成会计数据的工具，它的基本标志是“二元性”。将复式记账与“关系映射反演”的数学理论相联系，证明复式记账法是对经济交易活动所做的“二元流体测量法”。将数学中的数轴、坐标、矩阵等与复式记账法相结合，可以更直观地反映会计信息，从而拓展会计信息反映方式。
【关键词】代数结构；二元特征；记录方法；信息形成
【中图分类号】F230 【文献标识码】A 【文章编号】1004-0994（2017）28-0041-5一、会计记录的数学思考
测量就是对量的观察，是对研究对象的定量描述。但作为定量描述的测量方法揭示的不仅仅是被测对象本身的物理量值，还有隐含在现象背后的本质，从这个意义上讲，测量是定性和定量的统一。测量结果只是对测量对象量的反映，并不是测量对象的映像。测量是观察的手段和方法，人们通过测量获得信息，提出解决问题的思路，从而更加准确地认识测量对象。按照对测量的定义，在测量过程中，将复式记账法与会计主体相结合构成一个系统，称该系统为复式记账测量系统。历经几百年岁月，人们对复式记账法的测量记录方法的理解、解释并不一致，一个重要的原因是各类复式记账法缺乏一个客观的、可操作的检验标准。
数学中有一个理论叫关系映射反演（RMI）理论，基本原理（如图1所示）是：假设R为原像系统，其中包含未知的原像X。M表示一种映射关系，通过映射作用，将原像系统R映成映像系统R∗，其中自然包含未知原像X的映像X∗。如果能够确定X∗，通过反演或是求逆映射I=M-1就可以确定X。
复式记账测量记录的结构系统是指会计主体的全部经济业务，数学上称之为经济业务的集合S。对经济业务进行测量记录要借助于借贷记账法，经济业务与会计分录之间构成映射关系，会计分录的集合S∗与经济业务的集合S形成了一一对应的关系。如果依据某种复式记账学说，在S∗中执行了某种形式的数学处理，得出某些逻辑方面的结论X∗；而且能从X∗得到会计主体实证方面的某些结论X，则可以相信X的真实性。因为，在此测量过程中映射是一一对应的，反演也是一一对应的。用复式记账法测量得到的结果是会计分录集合S∗，如果依据某个复式记账学说通过某种计算、运算等（准确地说是有限多步的数学处理）求出这一数量关系系统的某个（某些）性质X∗，再通过反演（求逆映射）来确定经济关系系统中的对应性质X。复式记账的映射与反演关系如图2所示：
对于会计主体这个经验系统，如果用观测或实验的结果做比对，结果相符，则说明反映和测量是成功的；若彼此常常相符，则可以认为复式记账很可能是正确的；若常常不相符，则可以认为复式记账法已被证伪，借贷复式记账法已被500多年的实践所证。借贷复式记账法的“借”和“贷”归根结底是指增加和减少。因此，借贷复式记账法是对经济交易活动所做的“二元流体测量法”。
数学中对数学结构的定义是：在非空抽象集合上定义了适合一组公理的抽象关系，这个集合连同定义于其上的关系称为一个数学结构。可见集合理论与公理化方法是结构理论的两大支柱。基本的数学结构有三类，分别是代数结构、序结构和拓扑结构。在非空集合S上定义一个或几个二元运算，且运算满足一组公理，则称这个集合连同定义于其上的运算为一个代数结构，复式记账系统就是一种特殊的代数结构。
会计数据形成会计信息，复式记账系统是生产会计数据的系统，但至今人们对它的内部构造的认识还不清；由于复式记账系统是个数学系统，对它的数学结构认识不清，也就无法分析充分利用会计数据。只有运用恰当的数学工具，才能从庞大的会计数据资源中发掘出可靠的信息。复式记账所记录的内容是经济业务，它是指具有货币价值的交易或事项的转移、转变和转让等。经济业务是客观发生的，不以人的意志为转移。对于每一笔经济业务都要编写相应的会计分录，同样，记录的每一条会计分录都可以翻译成一笔经济业务。
要想弄清复式记账的本质，必须准确理解“复式”的真正意义。“复式”就是“二式”或“双重”的意思，主要包括两个方面：一是账户分为借、贷两方；二是每笔简单经济业务要记借、贷两笔账。在维持会计等式成立的前提下，全部经济业务只有四种类型（见图3）：①资产的两个账户一增一减；②资产的一个账户与权益的一个账户同增；③资产的一个账户与权益的一个账户同减；④权益的两个账户一增一减。在复式记账中，根据经济业务之间的逻辑关系，将复式记账分为：分类复式记账（资产与权益）、因果复式记账（付现与收料、交货与收现）以及流程复式记账（位移、变换、组合和分解等）三种情形。
二、分录数轴与分录坐标
会计账项、会计分录和会计等式都可用数学数轴和坐标来描述。需要说明的是，会计实务中账表都是左方为资产（正账户）、右方为权益（负账户），数学方程式也可以理解为左正右负，但不知何故，数学数轴和笛卡尔坐标系则与此反向。为了与数学接轨，将交易业务的会计分录在数轴上表示，可以对左方右方、借方贷方、资产权益等系列“二元性”进行综合反映。假如箭头的绝对方向指示账项方向，用“→”表示借方，用“←”表示贷方；相对方向指示资金流向，以O为中心，离心“←O→”指增加，向心“→O←”指减少；账项在数轴上的方位标示账户方向，在O的右方为资产，在O的左方为权益，那么箭头的长度就可标示统一货币单位的金额。以四种交易类型的常见业务为例，进行数轴和坐标的图示分析。
1. ×月1日收股本18000元存入银行。会计分录①如下：借：银行存款18000；贷：股本18000。
分录①的分录数轴图如图4所示：
图4中OA和OB分别指分录①的借项和贷项。OA的位置在O的右方指示账户方向为正（资产），箭头相对方向离心指示资金流向为正（增），箭头绝对方朝右指示账项方向为正（借）；OB位置在O的左方，指示账户方向为负（权益），其箭头相对方向离心指示资金流向为正（增），其箭头绝对方向朝左指示这笔账项方向为负（贷）。可见，这笔分录为两性账户同增，并且互为相反数，引起资金总额增加。
2. ×月11日用银行存款10000元购买商品。会计分录②如下：借：存货10000；贷：银行存款10000。
分录②的分录数轴图如图5所示：
图5中OA和AO的位置同在O的右方，同为正账户，OA箭头绝对方向指向右为借项，其相对方向离心指资金增加；AO绝对方向指向左为贷方，其相对方向向心指资金减少，显示同性账户一增一减，资金总额不变。
3. ×月21日以银行存款7000元归还短期借款。会计分录③如下：借：短期借款7000；贷：银行存款7000。
分录③的分录数轴图如图6所示：
根据以上逻辑，图6反映两个异性账户同减，引起资金总额减少。
4. ×月31日以盈余公积5000元转入资本。会计分录④如下：借：盈余公积5000；贷：股本5000。
分录④的分录数轴图如图7所示：
根据以上逻辑，图7反映两个负账户一减一增，资金总额不发生变化。
若将一定会计期间全部分录中的账项按正负位置在同一数轴上分别依时序连接起来，就可以得到资产负债表数轴。通过资产负债表数轴，可以一目了然地获悉该期间的累计正负账项发生额和期末资产总额，以及交易数量、金额和效果等重要信息。
账户性质、资金流向和账项方向也可通过笛卡尔坐标来反映。分录坐标图可清晰、直观地描绘不同类型的业务交易活动。仍对四种类型的常见业务进行分录坐标的分析，假设各账户的期初余额为零，计量单位为千元。分录①的坐标图如图8所示，OⅠ在第一象限、OⅡ在第二象限，显示异性账户同增并引起资金总额增加。分录②的坐标图如图9所示，OⅠ在第一象限、OⅣ在第四象限，显示同性账户一增一减，对资金总额无影响。以此类推，可得分录③和分录④的坐标图分别如图10和图11所示。
如果将一个会计主体的任一会计期间的所有分录坐标的账项线，按其所在象限分别依时序连接起来，就形成资产负债表坐标图。假如分录① ~ ④的业务是企业的全部交易，则可获得该企业期末资产总额、期末负债总额以及本期借项发生额之和、本期贷项发生额之和，必要时也可反映业务发生对资金的动态影响。
资本运动的重要特征是其特有的时间效应，即货币时间价值，它是复式记账反映的重要内容，也是会计核算与其他核算相区别的重要特征。时间因素、账户性位和资金流向构成一个三维空间，是复式记账进行信息加工、存贮和传输的重要载体。它显示复式记账的反映手段本来就是立体的——账户性质×资金流向×时间（过去—现在—未来），如图12示：
三、账户矩阵与账户网络
矩阵其实就是一个“表”，复式记账系统本质上就是一个矩阵。会计中日记总账核算就是把全部科目集中在一张账页上，用来反映每一项经济业务记录的账户对应关系。以简化的交易循环业务为例（如表1所示），将各笔经济业务的发生额记录在借、贷科目的交叉位置上，形成如表2所示的矩阵，该矩阵的横行与纵列的合计数相等。推而广之，只要表格足够大，任何会计主体、任意会计期间、任意多的经济业务都可以记录在该表上。在计算机时代，这个矩阵可以设计得足够大，并能进行实际操作。
经济业务、账户余额的关系可用关联矩阵来反映，将会计与矩阵、网络等数学概念联系起来，可以从数学上分析会计所反映的资金运动。将每个会计科目记为1个网络节点，表2中的4个会计科目可标记为4个网络节点。观察此账户矩阵，其中非零的元素wij对应的两个会计科目间必有经济业务发生，若将两个会计科目用箭标连接起来，在箭标上标注wij，其含义是借记该矩阵中第i列的科目、贷记该矩阵中第j行的科目，其金额为wij。例如按照表2，w41表示：借：未分配利润25000；贷：银行存款25000。
将每个会计科目本期发生额的增减净额标记在该科目的上方，用“↑”表示增加额，用“↓”表示减少额。根据表2绘制账户网络如图13所示。
通过对交易事项的分析，得出账户关系的矩阵结构和网络结构。正因如此，有人认为复式记账法是一个特殊的代数结构。一项资金的运动是由流量和流向组成，按照复式记账的理论，将所有业务的账户按借贷关系联系起来，构成借贷资金流量表。根据借贷资金流量表信息还可获得充分的财务信息，如资产负债表信息、利润表信息和现金流量表信息。此外，可以进一步将资金流量表信息进行调整（删除和合并），并把收入作为由外因决定的变量而单独考虑，使资金流量表得以简化，利用简化后的资金流量表进行相关信息的预测。
如果将所有业务的账户向量连接起来形成账户关系网络图，账户网络分析如同汽车、火车日夜运送着货物和旅客的交通网络，由于自身条件和道路的宽窄和平整程度等限制因素，在单位时间内通过公路、铁路所运送的货物和旅客的数量存在一个最大值。网络与它的各条线路上的流量称为网络流，求一个网络中网络流的最大值是网络分析的关键，这在信息化时代可借助计算机自动完成。以前述简化的交易循环业务为例，用网络图来表示各会计科目之间的关系，网络图中箭线的箭头指向该会计分录的借方科目，箭尾连接该会计分录的贷方科目，如图14所示。这种刻画会计分录之间关系的箭线图称为会计网络图。
图14左端的“期初银行存款”点只关联着箭尾，是贷方科目，是这一个流总的出发点，右端的“期末银行存款”点只关联着箭头，是借方科目，是这一个流总的到达点。除此两点外，其他各点均既关联借方科目又关联贷方科目，处在“流”的中间阶段。将每笔会计分录的金额看作是账户上的流量，标在每条箭线上，形成了会计网络流。复式记账描述了资金运动过程，而企业运行的本质是从“期初银行存款”开始，中间经过多笔会计分录，到“期末银行存款”结束，形成一个封闭循环，期间每笔会计分录都是按照流量来完成的。由此看来，会计网络流也有容量限制，由企业的资源数量和经营能力决定，具体是指在每个账户发生的实际（预算）金额等。
在网络中总的出发点称为源，总的到达点称为汇，源与汇之外的点称为中间点。对于每个中间点都有：全部流入的流量=全部流出的流量。井尻雄士曾将复式记账的基本恒等式与电气回路中的基尔霍夫第一定律相对应。用数学工具对会计网络流进行定量分析，必须对全部中间点进行优化处理。
在简化的交易循环业务网络图中，流入“原材料”账户的5万元只有2万元投入到生产过程，其余3万元流到“材料库存”账户，会计分录为：借：材料库存3；贷：原材料3。同理，流入“产成品”账户的1万元，是因为本期完工产成品数量不足销售而从成品仓库调入的产品价值。而在“期末银行存款”中包含本期未分配利润0.5万元，这项资金最终会由银行存款来支付，或者投入再生产过程，或者以股利形式分配给股东。假定本期的未分配利润0.5万元在本期已经被支付出去，会计网络图如图15所示。
图15中有1个源，即“期初银行存款”，有3个汇，即“材料库存”“成品库存”和“期末银行存款”。图论对只有1个源和1个汇的网络流有成熟的定量分析方法。在有多个源和多个汇的网络中放入两个点作为新的源和新的汇，连接新的源和新的汇形成新的网络图，从而将原来的网络转化为只有1个源和1个汇的网络。结合网络账户容量的限制，找到一条扩展和优化的路径①→③→④→⑤→⑧，扩展流量为1万元，如图16所示。
对网络流求最大流量，要考虑每个流量账户的容量。根据表1、表2简化的交易循环业务的账户容量如表3所示。根据流量账户容量的要求，可得到在不超过每个账户最大容量的情况下能通过网络的最佳综合流量或者网络中关键账户的容量，关键账户容量的大小直接影响着总的通过流量。
根据以上分析，该会计网络流的最大流量为：2.5+6=8.5（万元）。
主要参考文献：
袁明哲著．数理会计学［M］．济南：山东大学出版社，1999．
黄平生．会计数据的网络流分析［M］．北京：社会科学文献出版社，2013．
马冀.会计的数理属性与数理会计的结构体系［J］．财会月刊，2016（4）．
马冀.会计账户关系模型与信息充分揭示［J］．财会月刊，2016（16）．
