【作 者】
王 勇（教授），裴小青
【作者单位】
（重庆大学经济与工商管理学院，重庆 400030）
【摘 要】
【摘要】本文在已有文献基础上，针对现实中农户企业融资困难现象，以正在生长的肥育猪改良品作为研究对象，分别根据养殖企业违约与否两种不同情形下银行利润表达式，使用实证分析方法和数据处理软件SPSS，建立了银行的最优质押率决策模型，以创新地将农户库存改良品与银行质押业务相结合，为改良品质押融资业务的开展提供理论依据。
【关键词】质押融资；改良品；威布尔分布；质押率一、引言
中小企业融资难一直以来是我国经济发展顽疾，中小企业中的处于弱势的农户贷款难度大更是突出问题。相比国外如美国的大型农场主，我国农户相对分散，经营规模小，自有资金少。同时，我国乡镇农户普遍存在文化水平低、生产力低下、经济基础薄弱、抗风险能力差等特点，这使得银行等金融机构对农户贷款抱着较强的谨慎态度，也使得农户缺乏资金成为制约我国农业发展的关键因素。
在农产品库存系统中，广泛存在着可进行自身质量和品质改良活动的物品，如正在生长的稻谷、玉米等粮食，生猪、鱼、鸡鸭等家禽，我们称这类物品为“改良品”。改良品属于季节性产品，在未到销售季节之前占用农户大量流动资金，然而在销售季节，其又呈现变现容易的特点。如果将库存系统中的这部分农产品改良品进行质押，就可大大提高农户企业的资金流动性。传统信贷模式下发展起来的存货质押业务已日趋成熟，而较少有金融机构尝试农产品质押业务。基于此，本文立足于促进农户融资困难问题，结合银行动产质押业务，将正在生长的改良品进行银行质押，创新地解决了中小农户融资困难问题，时也为银行提供了新的利润增长点。
国内关于存货质押业务研究中，徐鹏和王勇（2011）在经典订货批量EOQ模型基础上研究了存货质押融资业务下的经济订货批量问题；赵天天和王东（2013）研究了回购契约情况下农产品需求方和供应商组合的简单供应链的融资运营问题；闫英等（2011）研究了当采用存货质押业务后企业利润增加额大于质押融资成本时第三方物流企业的服务定价模型；李毅学、冯耕中等（2007）研究了价格随机波动下存货质押融资业务，建立了最优质押率决策模型；李毅学、徐渝等（2006）又研究了铜、铝等标准存货价格服从几何布朗运动时的最优质押融资业务贷款价值比率。李毅学、汪寿阳等（2011）又研究了物流金融中季节性存货质押融资质押率决策问题；张钦红和赵泉午（2010）研究了需求随机时的存货质押贷款质押率决策问题。
国内外关于改良品研究文献较少。Hwang（1997）首先研究了改良物品库存问题，建立了改良率小于需求率时的EOQ模型以及改良率大于需求率时的PSQ模型。此后，Hwang（1999）又将改良物品的保管过程分为饲养和销售两个阶段，第一阶段物品只发生改良，第二阶段只发生变质，建立了FIFO和LIFO两种情况下的库存模型。Mondal（2003）、Bhunia（2003）基于威布尔分布，对物品的改良率和变质率同时满足威布尔分布时的库存问题进行了深入研究。
二、模型基本假设与相关说明
威布尔分布被主要用于工科产品的可靠性分析和寿命检验。Hwang H. S.（1997）等人首次将威布尔分布用于生猪、鸡鸭、养鱼等家禽的生长周期内库存管理中。他指出，生猪、鸡鸭、养鱼等家禽的生长周期内改良率表达式为：A（t）=αβtβ-1，其中t代表家禽生长周期内的任意时刻，且t的密度函数为：f（t）=αβtβ-1e-αtβ。同时，Mondal和Bhunia在对物品同时发生改良和变质的库存问题的研究中指出，肥育猪类改良品在生长最大周期T内的改良率远大于变质率，且净改良率也服从两参数的威布尔分布。
本文基本假设有：①银行为风险中性，即银行追求自身利润最大化；②整个肥育猪质押期内不考虑瘟疫、禽流感等特殊情况；③猪肉销售季节买卖市场接近完全竞争市场，市场交易价格p不变；④期末质押肥育猪全部出售变现。
在上述假设基础上，肥育猪瞬时库存水平改变量可以用微分公式来表达：dIt=A（t）Itdt。解该微分方程得到：It=I0eαtβ，其中α、β为分布中的参数值，且α>0，β>0。同时，期初农户将I0的肥育猪库存量拿给银行质押，肥育猪期末销售价格为p，并保持不变，银行质押率为：λ（0≤λ≤1），双方协商贷款额为：Q=λpIt（It为任意t时刻的肥育猪库存水平，且0≤Q≤pIT）。质押时间为肥育猪生长周期T。为方便分析，利率设为单利，银行贷款利率为Ir，存款利率为Ic，期末本息和为：λpIt（1+IrT）。
期末改良品总量为IT，则期末改良品可变现价值为pIT，实践中如果期末改良品可变现价值小于农户企业的贷款本息和时，也即pIT≤λpIt（1+IrT）时，银行面临农户企业的违约风险。假设此时农户企业还款的概率为θ（0≤θ≤1）。
三、基本模型建立及分析
1. 模型推导分析。由前文分析可得，在周期T内，肥育猪任意时刻库存水平为：It=I0eαtβ，在上述基础上，当期末改良品变现价值大于农户企业质押贷款本息和时，也即：
pIT≥λpIt（1+IrT） （1）
农户企业一定选择还款，此时银行不存在农户违约风险。
设 ，求解式（1），求得：
假设[t*=[1αlnM-1αlnλ]1β]。当[0≤t≤t*]时，即如果农户与银行协商贷款额Q=λpIt在（0，λpIt∗）范围内时，期末农户企业一定还款，银行不存在违约风险，此时银行利润为：
π（b）=λpIt（Ir-Ic）T （2）
另一方面，[t*<t≤T]时，改良品期末可变现价值小于农户企业质押贷款本息和，即如果农户与银行协商贷款额Q=λpIt在（λpIt∗，λpIT）范围内时，此时银行面临农户企业的违约风险，假设此时农户企业还款的概率为θ，若农户企业违约，银行会将手中质押品变现，此时利润为：
pIT-λpIT（1+IrT）
此时银行所得利润函数为：
π（b）=θλpIt（Ir-Ic）T+（1-θ）［pIT-λpIt（1+IrT）］
（3）
将式（2）、式（3）相结合可得银行利润函数：
（4）
由于家禽类改良品的改良时间服从两参数的威布尔分布，且时间密度函数为：f（t）=αβtβ-1e-αtβ，由此可得银行期望利润为：
2. 模型求解。对式（5）进行利润最大化求解，可得银行最优质押率。
命题：当贷款额为Q时，且改良品改良时间t满足服威布尔分布，银行给予农户的最优质押率为min{λ∗，1}，其中： 。
并且最优质押率具有如下性质：①当农户还款概率θ越大，最优质押率[λ*]越大；②当银行存款利率越大，最优质押率[λ*]越小。
证明：式（5）可化简为：
（6）
对式（6）进行求导得：
（7）
对式（6）求解二阶导数可得：
[d2E[π(b)]dλ2=-pI0(1-θ)(2IrT-IcT+1)λ<0]
由于式（6）二阶导数小于零，可知式（6）为质押率[λ]的凹函数，式（6）具有最大值。令式（7）等于0，可解得：
考虑质押率必须小于1，因此银行最优质押率为：min{λ∗，1}。
命题中λ∗对农户还款概率[θ]求导结果如下：
λ∗对[θ]的一阶导数大于零，说明λ∗关于[θ]为递增函数。
对
[-1)]进行简化可得：
[λ*=Mexp(θαTβ+1(1-θ)(IrT+1Ir-Ic+T)-(1+IrT)(αTβ-1)2IrT-IcT+1-1)]
（8）
从式（8）很容易看出，最优质押率λ∗与Ic成反比关系。命题及推论得证。
实践中，因为农户还款概率增大，银行能够收回贷款本息和的可能性也变大，在利益驱使下，银行会增大质押率以获得利息收入。同时，随着存款利率的增大，银行借给农户的资金成本也会增大，从风险控制和利润最大化的角度分析，银行给予农户的质押率会变小。
上述分析结果为银行解决农户资金短缺问题，开展肥育猪类改良品质押业务提供了理论基础。同时，依据上述理论分析结果可得，最优质押率随着农户还款概率的增大而增大，银行风管部门在进行此类业务时应进行改良品生长环境、状态及农户企业财务状况等多方面的考察，以准确获得农户的还款概率，从而尽可能地将风险控制在最小范围内。
四、数值分析
1. 威布尔分布中α、β参数值确定。为了便于进一步的数值分析，本文先采用回归分析方法，计算得出威布尔分布中的α、β值，再通过赋值法验证本文假设。
（1）样本选择集数据处理。陈晖（2008）等人在关于生猪类改良品库存管理的实证研究中，选择重庆市DZ畜牧科技有限公司巴南分公司的肥育猪为调研对象，其养育条件与其他肥育猪养殖条件完全一样。调研中选取100头肥育猪作为对象，并定时获取这100头肥育猪的体重数据，得到数据如表1所示，其中t=0时刻的库存水平为I0。
为方便后续使用SPSS数据分析软件分析，将表1数据进行一些算式变换整理，令lnIt-lnI0=S，得到S与时间t的关系如表2所示。
（2）软件分析。由上文可知，任意时刻肥育猪库存量威布尔分布，银行给予农户的最优质押率为min{λ∗，1}，其中： 。
并且最优质押率具有如下性质：①当农户还款概率θ越大，最优质押率[λ*]越大；②当银行存款利率越大，最优质押率[λ*]越小。
证明：式（5）可化简为：
（6）
对式（6）进行求导得：
（7）
对式（6）求解二阶导数可得：
[d2E[π(b)]dλ2=-pI0(1-θ)(2IrT-IcT+1)λ<0]
由于式（6）二阶导数小于零，可知式（6）为质押率[λ]的凹函数，式（6）具有最大值。令式（7）等于0，可解得：
考虑质押率必须小于1，因此银行最优质押率为：min{λ∗，1}。
命题中λ∗对农户还款概率[θ]求导结果如下：
λ∗对[θ]的一阶导数大于零，说明λ∗关于[θ]为递增函数。
对
[-1)]进行简化可得：
[λ*=Mexp(θαTβ+1(1-θ)(IrT+1Ir-Ic+T)-(1+IrT)(αTβ-1)2IrT-IcT+1-1)]
（8）
从式（8）很容易看出，最优质押率λ∗与Ic成反比关系。命题及推论得证。
实践中，因为农户还款概率增大，银行能够收回贷款本息和的可能性也变大，在利益驱使下，银行会增大质押率以获得利息收入。同时，随着存款利率的增大，银行借给农户的资金成本也会增大，从风险控制和利润最大化的角度分析，银行给予农户的质押率会变小。
上述分析结果为银行解决农户资金短缺问题，开展肥育猪类改良品质押业务提供了理论基础。同时，依据上述理论分析结果可得，最优质押率随着农户还款概率的增大而增大，银行风管部门在进行此类业务时应进行改良品生长环境、状态及农户企业财务状况等多方面的考察，以准确获得农户的还款概率，从而尽可能地将风险控制在最小范围内。
四、数值分析
1. 威布尔分布中α、β参数值确定。为了便于进一步的数值分析，本文先采用回归分析方法，计算得出威布尔分布中的α、β值，再通过赋值法验证本文假设。
（1）样本选择集数据处理。陈晖（2008）等人在关于生猪类改良品库存管理的实证研究中，选择重庆市DZ畜牧科技有限公司巴南分公司的肥育猪为调研对象，其养育条件与其他肥育猪养殖条件完全一样。调研中选取100头肥育猪作为对象，并定时获取这100头肥育猪的体重数据，得到数据如表1所示，其中t=0时刻的库存水平为I0。
为方便后续使用SPSS数据分析软件分析，将表1数据进行一些算式变换整理，令lnIt-lnI0=S，得到S与时间t的关系如表2所示。
（2）软件分析。由上文可知，任意时刻肥育猪库存量威布尔分布，银行给予农户的最优质押率为min{λ∗，1}，其中： 。
并且最优质押率具有如下性质：①当农户还款概率θ越大，最优质押率[λ*]越大；②当银行存款利率越大，最优质押率[λ*]越小。
证明：式（5）可化简为：
（6）
对式（6）进行求导得：
（7）
对式（6）求解二阶导数可得：
[d2E[π(b)]dλ2=-pI0(1-θ)(2IrT-IcT+1)λ<0]
由于式（6）二阶导数小于零，可知式（6）为质押率[λ]的凹函数，式（6）具有最大值。令式（7）等于0，可解得：
考虑质押率必须小于1，因此银行最优质押率为：min{λ∗，1}。
命题中λ∗对农户还款概率[θ]求导结果如下：
λ∗对[θ]的一阶导数大于零，说明λ∗关于[θ]为递增函数。
对
[-1)]进行简化可得：
[λ*=Mexp(θαTβ+1(1-θ)(IrT+1Ir-Ic+T)-(1+IrT)(αTβ-1)2IrT-IcT+1-1)]
（8）
从式（8）很容易看出，最优质押率λ∗与Ic成反比关系。命题及推论得证。
实践中，因为农户还款概率增大，银行能够收回贷款本息和的可能性也变大，在利益驱使下，银行会增大质押率以获得利息收入。同时，随着存款利率的增大，银行借给农户的资金成本也会增大，从风险控制和利润最大化的角度分析，银行给予农户的质押率会变小。
上述分析结果为银行解决农户资金短缺问题，开展肥育猪类改良品质押业务提供了理论基础。同时，依据上述理论分析结果可得，最优质押率随着农户还款概率的增大而增大，银行风管部门在进行此类业务时应进行改良品生长环境、状态及农户企业财务状况等多方面的考察，以准确获得农户的还款概率，从而尽可能地将风险控制在最小范围内。
四、数值分析
1. 威布尔分布中α、β参数值确定。为了便于进一步的数值分析，本文先采用回归分析方法，计算得出威布尔分布中的α、β值，再通过赋值法验证本文假设。
（1）样本选择集数据处理。陈晖（2008）等人在关于生猪类改良品库存管理的实证研究中，选择重庆市DZ畜牧科技有限公司巴南分公司的肥育猪为调研对象，其养育条件与其他肥育猪养殖条件完全一样。调研中选取100头肥育猪作为对象，并定时获取这100头肥育猪的体重数据，得到数据如表1所示，其中t=0时刻的库存水平为I0。
为方便后续使用SPSS数据分析软件分析，将表1数据进行一些算式变换整理，令lnIt-lnI0=S，得到S与时间t的关系如表2所示。
（2）软件分析。由上文可知，任意时刻肥育猪库存量I0eαtβ，对其两边求取对数，可得：lnIt-lnI0=αtβ，又有S=lnIt-lnI0，则S值与时间t满足幂函数的关系。
使用SPSS数据分析软件对上述数据进行S与时间t的非线性回归分析，选取幂函数回归分析，从而可得α、β的估计值。具体分析结果如表3、表4所示。
从方差分析表中可以得出，总体误差=回归平方和+残差平方和，总体误差为11.451，F统计量为489.505，显著性sig.值为0.000，故上述分析可得数据显著性强，表明威布尔分布在肥育猪类改良品生长规律中得到验证。
从表3、表4中可以看出，在未标准化的情况下，系数α=0.036、β=0.831。由此得到肥育猪类改良品任意时刻t的库存总重量表达式为：It=I0exp（0.036t0.831）。
2. 数值算例分析。假设周期T=100天，I0=1985kg，Ir=0.09，通过上节分析，期末肥育猪总量为：IT=I0eαTβ，使用第2节的α、β定量分析结果可得：IT=10 368kg。
假定其他参数值不变，质押期间的存款利率Ic在增大的过程中，最优质押率[λ*]随着存款利率的增大而减小，具体趋势如表5所示。
假定其他参数值不变，质押期间的农户还款概率[θ]在增大的过程中，最优质押率[λ*]随着存款利率的增大而减小，具体趋势如表6所示。
五、结论
本文根据已有的关于改良品的研究，提出了肥育猪养殖期初将其库存水平量I0进行质押，分析了当期末改良品价值总量小于贷款本息和时银行面临农户企业违约风险，并假设农户企业此种情况下还款概率为[θ]，得出银行所得利润期望，建立了银行利润函数，并求解了利润函数最大化时的最优质押率。再运用实证方法，结合数据处理软件SPSS的使用，并采用已有文献中关于肥育猪的养殖时间和库存量关系数据，得出当肥育猪库存养殖期间内改良时间服从两参数的威布尔分布时，分布中的两个参数α、β值。
此外，以后的研究中可以进一步考虑加入第三方物流企业参与该项业务中，以减小银行进行质押的风险。或者分析银行风险管理部门确定农户的违约概率的方法，或者分析存在瘟疫等灾害条件下的最优质押率模型，这将使得模型更加具有现实意义。
主要参考文献
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【基金项目】教育部人文社科基金（编号：12YJA630135）
