【作　　者】
王 超

【作者单位】
（安徽大学经济学院 合肥 230601）

【摘　　要】

      【摘要】在现有的一些财务管理书籍中，对流动资产投资管理最优投资规模的确定存在描述错误，配图普遍显示最优投资规模是持有成本曲线和短缺成本曲线的交叉点，有些书籍甚至认为最优投资规模是以上两种成本相等时的投资额。本文用数学方法对错误之处进行了解释和说明，并提出了更正建议。
【关键词】财务管理   流动资产   最优投资规模

现代公司制度是企业的主要组织形式。随着竞争加剧和环境动荡，营运资本管理由于对企业盈利能力以及生存能力影响重大而受到越来越多的重视。然而，目前理论界对营运资本的关注不够，在一些财务管理的书籍中对于流动资产管理中如何确定最优投资规模存在表述不清晰甚至错误的问题，应当引起重视。
一、最优投资规模存在的问题
营运资本管理包括投资和筹资两个方面。营运资本投资管理也就是流动资产投资管理，其日常管理主要包括现金管理、应收账款管理和存货管理。
在销售额和成本率不变的情况下，流动资产投资取决于流动资产周转天数。安排较少的流动资产投资，可以缩短流动资产周转天数，但可能会引发经营中断，增加短缺成本（交易成本、违约成本等）；安排较多的流动资产投资，可以延长流动资产周转天数，但可能会出现闲置的流动资产，增加持有成本；只有短缺成本和持有成本之和最小时，是最优投资。也就是说流动资产最优的投资规模，取决于持有成本和短缺成本总计的最小化。
财务管理书在解释最优投资规模的时候会配一个图（见图1），直观地表示持有成本曲线、短缺成本曲线和总成本曲线的关系，同时显示最优投资点的位置。

西南财经大学出版社2006年出版的《财务管理》教材在配图旁做了如下解释：“持有成本线向右上方倾斜，短缺成本线向右下方倾斜，总成本线便是一条抛物线（闰书丽等，2006）。2013年版的注册会计师“财务成本管理”教材认为：“企业持有成本随投资规模而增加，短缺成本随投资规模而减少，在两者相等时达到最佳的投资规模。”
这个配图和对应的文字解释是存在问题的，它改变了原有的结论，用持有成本函数与短缺成本函数相等的投资量代替了持有成本函数一阶导与短缺成本函数一阶导相加等于0的投资量作为流动资产投资的最佳投资量。相对于逻辑解释和数学推导，图形更容易记忆和理解，数学基础薄弱、不懂微积分理论的人更倾向于记忆结论，错误的配图和结论就更加容易被记住，从而在工作中产生不良影响。
1. 持有成本曲线和短缺成本曲线相加不一定是抛物线。流动资产投资中有两个成本：短缺成本和持有成本。其中短缺成本是指随着流动资产投资水平降低而增加的成本。持有成本是指随着流动资产投资上升而增加的成本。因此需要权衡得失，确定最佳投资规模。
令Q是流动资产投资量，短缺成本Y是流动资产投资量Q的减函数，记为Y（Q）；持有成本Z是流动资产投资量的增函数，记为Z（Q）。流动资产投资的总成本T是短缺成本和持有成本之和，即T（Q）=Y（Q）+Z（Q）。
持有成本函数可以表示为持有成本曲线，短缺成本函数可以表示为短缺成本曲线，两条成本曲线进行纵向加总就是总成本曲线。如果把以上三种成本线放在一个图上，可以直观地找出最佳投资规模的点。
最佳流动资产投资金额是使得总成本线最低的点，如果总成本线是抛物线，那么该点很明确且唯一，就是抛物线的最低点，但问题是只有Y（Q）=1/Q-Q是减函数和Z（Q）是增函数这个条件并不能保证T（Q）是抛物线或总成本线呈倒U形。可以找到很多反例，如令Y（Q）是Q的减函数，Z（Q）-Q是Q的增函数，此时TQ=Y（Q）+Z（Q）=1/Q，是一段双曲线而不是抛物线，见下页图2。2. 最优投资规模不一定是持有成本曲线和短缺成本曲线的交点。如前所述，从总成本的角度考虑，使总成本最小的投资规模是最优的，用数学建模表示就是求T（Q）的最小值，由于T（Q）是连续的，极小值点就是最小值点，根据微积分极值定理，极小值点是T（Q）一阶导数等于０的Q0点。
T"（Q0）=Y"（Q0）+Z"（Q0）=0，即短缺成本函数一阶导数和持有成本函数一阶导数相加等于0 的流动资产金额Q0是流动资产的最优投资规模。Q0并不能使Y（Q0）=Z（Q0），得不出持有成本和短缺成本相等的点是最优投资规模的结论。
二、持有成本和短缺成本交叉点是最优投资规模的条件
那么在什么情况下，持有成本与短缺成本相等的流动资产金额是最佳投资规模？假设Q1是使短缺成本与持有成本相等的流动资产投资金额，如果Q1恰好满足Y"（Q0）+Z"（Q0）=0，即流动资产金额是Q1时，短缺成本函数一阶导数和持有成本函数一阶导数相加等于0，此时，Q1是最优投资规模。容易看出，这种情况只是一种特例，它对短缺成本函数和持有成本函数的形式产生了约束，要求短缺成本函数和持有成本函数在方程组（1）下存在非0解Q1。
   Y"（Q0）+Z"（Q0）=0
   Y（Q）=Z（Q）
通过这个微分方程组很难直接计算出满足（1）式的Y（Q）和Z（Q）的解析解。营运资本日常管理中现金管理、存货管理有对上述最优投资规模的应用，分别是最佳现金持有量和存货经济订货量。
现金管理中，广泛使用的确定最佳现金持有量的鲍曼模型是由美国经济学家威廉·鲍曼（William Baumol）在1952年提出的，是将存货经济进货批量模型原理用于确定目标现金持有量的模型，也叫存货模式。鲍曼模型恰好满足方程组（1），根据鲍曼模型可以推导出一个满足方程组（1）的Y（Q）和Z（Q）的一般解析解，如果持有成本函数和短缺成本函数符合一般解析解的形式条件，则持有成本曲线和短缺成本曲线的交叉点是最优投资规模。
1. 鲍曼模型满足条件。在鲍曼模型中，企业所需的现金可以通过证券变现取得，证券变现的成本（经纪费用等）为现金转换成本，持有现金产生的机会成本为现金持有成本。
现金管理总成本=现金持有成本+现金转换成本
TC=Q/2×R+A/Q×F                       （2）  
其中：TC是现金管理总成本，A是预算期现金需要总量，Q是最佳现金持有量，R是有价证券利率或报酬率，F是平均每次证券变现的成本。
现金持有成本函数为Z（Q）=A/Q×R，现金转换成本函数为Y（Q）=Q/2×R，分别对它们求一阶导数Y"（Q）=Q/2，Z"（Q）=-AF/Q2。由Y"（Q）=Z"（Q）解得：Q1=            。由Y（Q）=Z（Q）解得：Q1=           。所以当Y（Q）=Q/2×R，Z（Q）=A/Q×R时，方程组（1）有解Q1。此时现金持有成本和现金转换成本相等（或者说现金持有成本曲线和现金转换成本曲线交叉点）的现金持有量，即是总成本最低的最佳现金持有量。
2. 满足条件的一个一般解析解。根据鲍曼模型，一般令Y（Q）=Q×φ，Z（Q）=1/Q×δ，其中φ、δ为其他非Q变量组成的函数，可以得到方程组（1）的一个一般解析解。φ、δ取不同的函数形式可以得到不同的Y（Q）和Z（Q）。如鲍曼模型中φ=R/2，δ=AF。可以验证“Y（Q）=Q×φ，Z（Q）=1/Q×δ”满足方程组（1），存在Q1=       ，所以它们是解析解。
3. 存货决策中经济订货量模型不满足条件。存货决策中经济订货量模型中成本函数不符合上述解析解形式。存货总成本的公式为：
TC=F1+[DQ]K+DU+F2+KC[Q2]           （3）  
储存成本Y（Q）=F2+KC[Q2]，订货成本函数Z（Q）=F1+[DQ]K+DU。此处的Y（Q）和Z（Q）代入方程组（1）不存在Q1，所以储存成本曲线和订货成本曲线的交叉点不是经济订货量。
三、结论和建议
从上面的分析我们可以得出，只有短缺成本函数Y（Q）和持有成本函数Z（Q）满足一定的条件，这两条成本曲线的交叉点才使得总成本最小，才满足流动资产投资最优化的条件。如果不满足方程组（1）的条件，既不能说短缺成本曲线和持有成本曲线交叉点是使流动资产投资规模最优的点，也不能说流动资产投资规模最优点一定是短缺成本曲线和持有成本曲线的交叉点。用数学的语言说，短缺成本曲线和持有成本曲线交叉点的流动资产投资额既不是流动资产投资规模最优的必要条件，也不是充分条件。
有鉴于此，笔者认为最优投资规模图形不应该采用鲍曼模型这种特殊情况，即使总成本曲线画成抛物线，也不应该使其最低点对应持有成本曲线和短缺成本曲线的交叉点；如果采用图1这种形式也应该在图形说明中加以解释。
主要参考文献
1. 袁卫秋，董秋萍.营运资本管理研究综述.经济问题探索，2011；12
2. 闫书丽，宋靖，许世英.财务管理.成都:西南财经大学出版社，2006