【作 者】
姜爱萍（副教授），池秋果
【作者单位】
上海大学悉尼工商学院，上海201800
【摘 要】
【摘要】针对冗余系统，可建立一种基于环境因素影响的预防性维修周期决策模型。首先，借鉴比例风险模型的思想，得到考虑环境影响的冗余系统可靠性函数；然后，建立在任意时刻的维修成本函数，维修成本分为两部分，一是在该时刻由于突发故障导致系统失效而产生的更换系统的固定维修成本，二是该时刻系统仍可正常运行但部分组件失效而产生的更换组件的维修成本；最后，求得满足企业要求可靠性的使系统单位时间维修成本最小的固定检修周期。仿真结果表明，考虑环境因素影响的最优检修周期缩短，系统可靠性提高。
【关键词】冗余系统；预防性维修；比例风险模型；检修周期
【中图分类号】N945.16 【文献标识码】A 【文章编号】1004-0994（2017）29-0048-7
一、引言
在航空航天、船舶军舰、电力通讯等行业内，一些核心系统存在维修不便、故障损失巨大的状况。比如船舶军舰电力系统、飞行器控制系统、航天器电源系统等，通常存在长时间远离陆地的情况，无法及时进行维修，而一旦发生故障就会造成极其严重的后果。为了减少故障，提高系统可靠性，企业常常采用冗余系统，即通过多个独立配置的相同组件，使系统在其中部分组件无法工作时能使用其余同类组件来继续完成工作。但实际上，冗余系统的可靠性受系统模式的变化、工作环境、操作员技能水平等因素的影响，实际可靠性比理论水平下降得更快，也更容易发生故障。
为了延长冗余系统使用寿命，企业需对其进行预防性维修。近年来，系统维修的费用也逐渐成为影响企业利润的关键因素，有研究显示，民用飞机的维修费用甚至可以达到飞机购买价格的50% ~ 120%。企业如何合理规划维修策略与维修周期，能使可修冗余系统维修成本最低，避免因维修过剩导致的人力、物力资源浪费或维修过少造成的故障风险，对于企业提高经济效益、优化库存管理有着重要意义。
可靠性理论为系统的预防性维修策略研究提供了方法。在可靠性理论中，n中取k表决模型（k-out-of-n model）是一种常用于分析冗余系统可靠性的概率模型。Barlow和Wu（1978）使用n中取k表决模型探究了多状态组件组成系统的可靠性；Heidtmann（1982）对此模型进行了编程；Wu和Chen（1994）在其模型的基础上就组件在系统中的不同权重得出了权重n中取k表决模型（Weighted k-out-of-n Model）；Huang等（2000）认为组件存在多种状态，提出了多状态n中取k表决模型（Multi-state
k-out-of-n Model）；Tian等（2009）在此基础上将两个模型合一，提出了多状态权重表决模型（Multi-state Weighted k-out-of-n Model）；Yuan（2012）讨论了维修工有多次休假的表决模型的可靠性；Mo等（2015）通过多值决策模型分析了多状态n中取k模型的可靠性。Coit等（2015）提出了在组件最小要求数量变化时的组件合作型n中取k动态表决模型（Dynamic k-out-of-n With Component Partnership，DKNCP），该模型综合了多状态模型与权重模型，从系统组件的可靠性与组合方式方面对组件合作型的冗余系统进行了更准确的可靠性预测。
然而n中取k表决模型从系统内部分析可靠性时，并没有考虑外部环境因素如工作环境、操作技术等对系统可靠性的影响，而这些环境因素却是影响冗余系统失效的原因。在环境因素对设备失效率影响的研究领域，Cox（1972）提出的比例风险模型（Proportional Hazard Model，PHM）是最经典的分析模型，该模型被广泛应用于航空航天、工程可靠性、武器装备等领域。Kumar和Ghodrati（2015）应用PHM分析了环境因素对不可修单组件失效率的影响，得出了环境因素影响下组件的需求量。Louit等（2011）则应用此模型对备件基于运作环境的维修策略进行了探究。
Gupta（2002）曾做过环境因素影响下冗余系统可靠性的研究，采取的是先用PHM分析冗余系统的组件在环境影响下的可靠性，再通过n中取k表决模型计算系统可靠性的方法。由于不同的环境因素对不同的组件会产生不同影响，这一模型仅适用于单种n个组件构成的冗余系统。随着科技的发展，冗余系统在结构规模、功能层次上越来越趋向于复杂化，而关于多种多个组件构成的冗余系统在环境因素影响下的可靠性，迄今为止尚未有人进行研究。
因此，本文将借鉴Coit等（2015）提出的组件合作型n中取k动态表决模型对冗余系统的基础可靠性进行计算，通过PHM考虑环境因素对系统的影响，得到环境因素影响下冗余系统的可靠性。在此基础上，提出定期检修的预防性维修策略，若周期内系统发生故障则更换系统，否则就按周期更换失效的组件。此策略的合理性在于，一方面，系统在检修周期内突然失效时系统内部的运行状况不能很快得知，仅更换组件会导致组件需求不明确、库存负担加重、维修时间延长、故障损失增加的后果，而采用更换系统的方式时，只有少量残留组件无法被再次利用，维修时间大大缩短，系统修复如新，可用度提高。另一方面，定期检修的周期内系统未发生失效时，更换整个系统会浪费未失效冗余组件的剩余价值，而采用更换组件的方式时，检修周期给予更换组件充分的准备时间，能更大限度地利用冗余组件。
二、模型建立
1. 系统描述与符号说明。本文研究的冗余系统为组件合作型动态n中取k表决系统。系统由m种共n个组件组成，高合作水平的组件可以替代失效的低合作水平的组件，形成组件合作小组来维持系统运行，由于合作小组存在各种可能，因此支持系统运行的最小组件数k是动态变化的。此外，本文还有下列假设：①系统和组件只存在两种状态，工作或不工作；②各组件失效是独立事件；③所有冗余可用；④组件不可修，但可替换，替换后系统修复如新，重新记运作时间。
本文所用变量符号如表1所示：
2. 系统可靠性建模。
（1）基础可靠性。本文借鉴Coit等（2015）提出的组件合作型动态表决模型对冗余系统的基础可靠性进行计算。令yl表示系统运行时的状态，即运行时各类型组件运作个数组成的向量。此运作状态下，系统可靠性为：yl)将所有yl分类，同k的yl合成一个合集Ψk(x)，每个k值对应的系统可靠性为：
rj（t）yj［1-rj（t）］xj-yj （2）
如将所有非负k值对应的可靠性求和，则可得系统的基础可靠性为：
（3）
（2）考虑环境因素影响的可靠性。通过上文得到系统的基础可靠性RS（t）后，再借鉴Cox（1972）提出的PHM得到外界因素影响下的系统失效率，如下所示：
其中，λs（t）为系统瞬时失效率，其与系统可靠性的关系为：
公式（5）的推导如下： 已知可靠性R（t）=P（T>t），t为规定时间、T为产品寿命。令不可靠性为函数F（t），则F（t）=P（T≤t）=1-R（t）。不可靠性函数也可看做产品的寿命分布函数或累积失效概率。那么产品的失效概率密度函数即F（t）关于时间t的导数，记做f（t），F（t）= f（t）dt。瞬时失效率指工作到t时刻尚未失效的产品，在该时刻t后的单位时间内发生失效的概率，可记为λ（t）=P（t<T≤t+△t|T>t），t为规定时刻，△t为t时刻后单位时间。所以单位时间内平均失效率λ（t，△t）=[P（t<T≤t+△tT>t）△t]，当△t趋近于零时，可得t时刻的瞬时失效率。即：
同时，若将λ（t）=[-R" （t） R （t） ]两边积分可得：
两边再取对数可得：
为了求得λs（t），首先对公式（3）求导，令：
则有：
因为：
所以：
则有：
λs（t）=-[R"S（t）RS（t）]
接下来，在上述公式得到的可修冗余系统的基础失效率λs（t）的基础上，加入环境因素对系统的影响。需首先找出影响系统运行的环境因素（z1，z2，z3…）；然后对其进行赋值，如正面影响赋值+1，负面赋值-1等，以便量化计算；接着在多因素回归中采取向后消去法对环境影响因素进行筛选；最后用最小二乘法对筛选后的的环境因素进行回归分析，得到其权重（α1，α2，α3…）。由于系统可靠性与其瞬时失效率存在如公式（5）的关系，公式（4）可以经过如下推导得到环境因素影响下的系统可靠性：
基于可修冗余系统的特点，本文提出的维修策略如下：根据固定周期v对系统进行检修，若周期内系统始终正常工作，则在检修时刻只更换失效组件，若周期内系统突发故障，则故障发生后更换整体系统。据此，t时刻系统的维修成本将由定期检修更换组件的成本CR以及突发故障更换系统的成本CF两部分组成。由于每次更换系统的流程与耗费相同，CR可看做固定值；定期检修更换组件成本CR可看做由检修人工费用CH和所需更换组件成本组成。其中，定期检修时更换的组件类型与数量取决于系统在该时刻的运行状况，因此在t时刻所需更换组件成本是不同运行状况对应的更换失效组件成本的期望值E（R）。则有：
CR=E（R）+CH （8）
其中：
时刻使系统正常运行的任一状态发生的概率；Cl= cj（xj-yj）代表此状态下更换失效组件所产生的维修成本。
因此，周期v内系统维修的期望成本E（C）=CR∙Re（v）+CF∙［1-Re（v）］ ，在满足可靠性Re（v）大于企业要求可靠性R0的前提下，目标函数为最小化冗余系统单位时间维修成本：
（9）
根据此模型，可以求得冗余系统的最优检修周期及对应的维修成本。
三、模型求解
求解冗余系统最优检修周期的思路如图1所示。即首先初始化系统参数与成本参数，检修周期v自100小时起，以100小时为间隔一直取到5000小时，由算法1求得每个[v]时刻下的系统基础可靠性，然后由公式（7）计算受环境影响下的系统可靠性，公式（7）中的参数可通过环境因素的赋值与筛选过程得到。最后计算每个v的平均单位时间维修成本，输出对应的v、Rs（t）、Re（t）、AC，找到使得AC最小的v。计算不考虑环境因素得到的最优检修周期时，直接利用Rs（t）计算AC，无需进行环境因素的赋值与筛选以及计算Re（t）。
用于求解系统基础可靠性的算法1步骤如下： 第一步：对于已知由m种n个组件组成的可修冗余系统，根据xj，j∈（1，m），采用枚举法得出设备的所有可能运行状态yl。
第二步：通过子算法得到每一个运行状态下的最小运行组件数k（yl）。
子算法如下：
对于任意向量yl，令k=1，将yl中所有kj=k的j型组件的运作个数求和；
如果 yj-k<0且k=kmax，则k（yl）=-1；
如果 yj-k<0且k<kmax，则k=k+1，重复计算过程；
否则，k（yl）=k。
第三步：对于每个yl，根据公式（1）计算此运作状态下系统的可靠性。
第四步：根据公式（2）求得每个k值对应的可靠性。
第五步：根据公式（3）求得该系统的可靠性。
由此，对于任意时刻t，根据以上五步即可求得t时刻系统的基础可靠性。下文将详细说明环境因素的赋值和筛选过程及其余计算过程和结果。
四、数值算例
下面通过数值算例证明本文提出的冗余系统预防维修策略是可行的，以及考虑环境影响因素对维修策略的制定是必要的。考虑系统由3种共6个组件组成，即m=3、n=6， 系统基本信息如表2所示。另外，假设模拟系统定期检修的人工费用CH为20000元/次，突发故障时更换系统的固定成本CF为500000元/次，企业对于系统可靠性的最低要求R0=0.8。根据表2的数据通过算法1可以得到该系统的所有运行状况，及对应最小运行组件数如表3所示。
通过算法1可以得到任意时刻冗余系统的基础可靠性。以t=3000为例，将k值相同的运行状态的概率求和，可得系统运行到3000小时失效，即k=-1的概率为0.325，k=1、2、3的概率分别为0.002、0.572和0.101。系统的基础可靠性Rs（t）=0.675，瞬时失效率λs（t）=2.604×10-4（次/小时）。
接下来，对影响系统的环境因素进行赋值与筛选。假设系统主要受五个方面环境因素的影响，分别是温度（ST）、振动（SV）、粉尘（DS）、操作技术（OS）以及湿度（SH）。温度（ST）以55℃为界线，低于55℃赋值+1，反之赋值-1；振动（SV）对系统产生不利影响赋值-1，反之赋值+1；粉尘（SD）若造成不利影响，则赋值-1，无影响则赋值+1；操作技术（OS）熟练则赋值+1，不熟练则赋值-1；湿度低于80%时赋值+1，高于80%时赋值-1。不同的环境因素会对系统的使用寿命产生不同的影响，因此本文考察系统的基础寿命，在合理范围内对样本寿命即失效时间间隔（TTFs）进行了随机选取，每一TTFs对应的五种环境因素进行多次随机赋值并选取其中一组，从而得出表4所示的数据。
将表4中的TTFs数值代入算法1中可以求得系统在这些时刻的基础失效率。根据表4中数据，本文使用SYSTAT软件，以逐步递减的方式对五种因素的显著性水平进行考察和筛选，并求得筛选后因素的权重。显著性水平为0.05时，每次将超过最多的因素移除，直至剩余因素都显著影响失效率为止［筛选步骤详见Kumar和Ghodrati（2015）］。结果表明五种因素中，只有温度（ST）和振动（SV）对系统失效率有显著影响，且两者权重分别为-0.366与-0.618。此时可得环境影响下的系统失效率公式为：
λe（t）=λs（t）e-0.366ST-0.618SV （10）
由于同一时刻不同环境下的系统失效率之间的关系如下：
[λe（t,z1）λe（t,z2）=λs（t）ez1αλs（t）ez2α=eα（z1-z2）]
可知有效影响因素的不同状态将会导致系统累积失效率的平移。据此，对上述因素筛选结果进行拟合验证，即使用SPSS软件对振动（SV）和粉尘（DS）分别进行生存分析，得到的结果分别如图2和图3所示。振动因素显著使得系统累积失效率平移，而粉尘则不显著，验证了筛选结果。
此时给定任意时刻t与环境状况，根据公式（10）即可得知环境影响下的系统瞬时失效率。例如t时刻为3000h，此时温度（ST）为+1、振动（SV）为-1，通过以上步骤可得系统的基础失效率为2.604×10-4次/小时，环境影响下的系统失效率为3.351×10-4次/小时，受环境影响的系统可靠性为：Re（t）=Rs（t）e-0.366+0.618=Rs（t）e0.252。
若v自100小时起，以100小时为间隔一直取到5000小时，计算考虑环境因素影响与不考虑环境因素影响得到的系统可靠性与平均单位时间维修成，系统不考虑环境因素影响时的最优检修周期为1600小时，其对应的最小检修成本为63.44元/小时；考虑环境因素影响时的最优检修周期为1300小时，其对应检修成本为69.56元/小时。对比发现，考虑环境因素与不考虑环境因素相比，最优检修周期更短，虽然单位时间维修成本稍高，但整个系统的可靠性得到提高。表明环境因素一定程度上加速了系统的失效，最后得到的冗余系统的检修周期与维修成本更贴合实际情况，有利于企业合理规划备件库存预备检修，并减少突发故障造成的损失。
五、结论
本文提出了一种基于环境因素影响的冗余系统预防性维修决策模型，结合系统内外部影响因素得到系统的可靠性，并据此求得使系统维修成本最小的最优检修周期。
本文首先通过组件合作型n中取k动态表决模型求得冗余系统的基础可靠性，然后借鉴比例风险模型加入环境影响因素，得到环境因素影响下的系统可靠性。在计算冗余系统维修成本时，本文基于组件合作型n中取k动态表决系统的特点，提出了突发故障更换系统、周期检修更换失效组件的维修策略。最后，在可靠性要求的约束下，根据环境因素影响下的系统可靠性得到使系统单位时间维修成本最小的最优检修周期。算例仿真结果表明本文提出的策略是可行的。同时，考虑环境因素得到的最优检修周期比不考虑环境因素得到的周期更短，说明考虑环境因素对系统的影响是十分必要的。此外，本文研究对象局限于特点结构的冗余系统，并且维修策略中只考虑了对组件或系统的更换，未来研究可考虑组件可修的情况，即可考虑不完美维修的方式，从而节约总成本。
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