【作　　者】
王 磊，徐金亚（博士）

【作者单位】
成都东软学院信息技术与商务管理系，成都611844

【摘　　要】

     【摘要】长期债券资本成本动态测算法在学术界尚存在争议。目前主流的测算方法是，先通过债券的价值模型计算税前资本成本，而后对其进行“税盾”来求税后资本成本；而另外一种观点是，将可税前抵扣的财务费用进行“税盾”，通过价值模型来计算税后资本成本。本文运用符号计算软件Maple建模，对两种方法进行数学推导和分析比较，最终证明，在常规的债券发行条件下，运用第一种方法计算得出的税后资本成本低于第二种方法。这一结果表明，采用目前主流的动态测算法会造成对长期债券资本成本的低估。这既可以为科学的筹资决策提供参考，也可以为进一步深入研究资本成本动态测算法提供新的思路。
【关键词】债务资本成本；符号计算；动态法；税盾
【中图分类号】F230.9           【文献标识码】A           【文章编号】1004-0994（2016）29-0052-3一、问题的提出
长期债券资本成本是指企业为举债而付出的代价。学术界通用的计算方法是，在考虑筹资费用和用资费用的前提下，测算债务资金的税后资本成本。
按照是否考虑资金的时间价值分为两种方法：
1. 静态法。不考虑货币资金时间价值，用长期债券的税前年利息进行“税盾”后除以筹资净额（名义筹资额扣除筹资费用后的余额），公式如下：
k=[R×(1-T)P-F] （1）
式（1）中：R为长期债券的年利息额；T为所得税税率；P为名义筹资额；F为筹资费用。
由于静态法没有考虑货币资金的时间价值，对于长期债务资金而言，其缺陷显而易见。
2. 动态法。考虑货币资金的时间价值，将长期债券的资本成本看作债券未来还本付息的折现值与目前筹资净额相等时的折现率。
目前有以下两种动态测算法：
（1）先通过长期债券的价值模型计算税前资本成本，而后对其进行“税盾”来计算税后资本成本。基本计算方法为：先求解方程（2），得到税前资本成本K0，则税后资本成本K=K0（1-T）。
P（1-f）=[t=1nI(1+K0)t+M(1+K0)t] （2）
式（2）中：P为债券发行价格；f 为筹资费率；I为年付息额，T为所得税税率；n为债务还本付息期限（占用期）；M为债券面值；K0为债券税前资本成本；K为债券的税后资本成本。若平价发行债券，则P=M。此处假设债务资金每期末付息一次，到期一次还本。
（2）先将可税前抵扣的财务费用进行“税盾”，而后求税后资本成本。基本计算方法为：求解方程（3），得到税后资本成本K。
P（1-f）=[t=1nI×(1-T)(1+K)t+M(1+K)t] （3）
式（3）中各符号含义同式（2）。
动态法计算的资本成本由于考虑了货币资金的时间价值，因而得到的结果能较准确地反映实际情况，但动态法的计算过程比较复杂。
运用上述两种动态测算法测算长期债券的税后资本成本时，往往会得出不同的结果，那么，哪种方法更具有科学性？长期以来学术界对此存在诸多争议。目前主流介绍财务管理的书刊采用第一种方法，而很多财务学者纷纷从不同的角度对其提出了质疑，并沿着第二种测算方法的思路持续进行改进。
在查阅2000 ~ 2015年中国知网公开发表的关于债务资本成本测算方法的97篇文献后，笔者发现，关于债务资本成本动态测算法的研究主要观点为，从税法的角度来看，结合会计准则，在考虑货币资金时间价值的前提下，把可以在税前抵扣的费用先予以“税盾”，再求解税后资本成本。比如：侯丽平（2007）、张晓亮（2012）在长期债券资本成本的计算中，将债券利息费用和债券溢折价发行的摊销均在税前抵扣，因此在用动态法测算其资本成本时应该先予以“税盾”；在融资租赁资本成本计算中，他们将每期租金中的利息费用和本金划分开，对可抵扣的利息费用予以“税盾”，进而测算资本成本。袁太芳等（2011）提出企业资本成本通用的计算原理，即企业资本成本是指企业未来需支付的税后现金流量现值之和等于有效筹资额时的税后贴现率，然后他们分别就借入资金、自有资金和投资项目的成本计算进行了应用分析。章道云等（2015）用筹资费用和用资费用的现值总额的年金（若存在溢折价发行，则将溢折价摊销额连同筹资费用一起来计算年金）除以筹资额的现值总额，来测算债务资金的动态资本成本，以此体现可比性，并突出资金时间价值。
综合债务资本成本动态测算法的研究现状可以看出，目前很少有学者从数学推导和分析的角度来比较两种方法。洪怡恬（2008）通过数学推导求解出了两种方法下两年期债券的资本成本，论证了第一种方法在理论上的不足之处，但其并没有比较两种方法测算结果的大小，以及不同的测算结果对财务决策的影响，也没有找到两种测算方法的一般规律。
综上，尽管已经有很多学者对目前主流书刊的长期债券资本成本的测算方法提出了质疑，但是都没有对测算方法的内在规律进行研究。本文试图从一个较新的角度去比较两种方法，即符号计算，用严谨的数学推导来分析比较两种测算方法的计算结果，从而既为科学的筹资决策提供参考，也为资本成本的研究提供新的思路。
二、债务资本成本动态测算法的符号计算
Maple软件是目前世界上最为通用的数学和工程计算软件之一，在数学和科学领域享有盛誉，有“数学家的软件”之称。Maple软件具有强大的符号计算能力，相较于其他数值计算软件，其更能发现数学模型的一般规律。因此，本文运用Maple软件对长期债券资本成本动态测算法进行建模。
考虑到公式推导的繁琐，现假设企业发行债券期限为三年，且平价发行，即不考虑溢折价摊销，然后分别用两种测算方法进行建模。
1. 运用第一种方法测算。在Maple软件中建立模型（4），假设长期债券为平价发行，P为债券发行价格， f 为筹资费率，r为票面利率，T为所得税税率，期限为三年，K为债券的税前资本成本。
P（1-f）=[rP(1+K)1+rP(1+K)2+rP(1+K)3+P(1+K)3] （4）
令α=1-T，则税后资本成本K*=Kα。联立方程（4），经Maple软件整理后，得到方程（5）：
0=[P(α+K* )3]［K*3（1-f）+3K*2α（1-f）-K*2αr+3K*2α2（1-f）-3rα2K*+α3（1-f）-3rα3-α3］ （5）
经Maple软件求解方程（5），取方程有效根，得到式（6）：
K*= [[△16(1-f)+2r(3-3f+r)3(1-f)△1-(3-3f-r)3(1-f)]α]  （6）
其中：
△1=｛12     ×［27（1-f）2r2+14（1-f）r3+3r4+54（1-f）2r+
18（1-f）r2+4r3+27（1-f）2］  ×（1-f） +108（1-f）2r+36（1-f）r2+8r3+108（1-f）2｝
2. 运用第二种方法测算。在Maple中建立模型（7）：
P（1-f）=[rαP(1+K)1+rαP(1+K)2+rαP(1+K)3+P(1+K)3] （7）
其中：P为债券发行价格；f 为筹资费率；r为票面利率，T为所得税税率；令α=1-T；K为债券的税后资本成本。期限为三年。
经Maple整理后，得到方程（8）：
0=P［αK3r-（1-f）K3+3αKr-3（1-f）K2+3αr-3（1-f）K+f-1］/（1+K）3 （8）
经Maple软件求解方程（8），取方程有效根，得到式（9）：
K=[△26(1-f)+2rα(rα-3f+3)3(1-f)△2+αr+3f-33(1-f)] （9）
其中：
△2=｛12    ×［3α4r4+14（1-f）α3r3+27（1-f）2α2r2+4α3r3+
18（1-f）α2r2+54（1-f）2αr+27（1-f）2］  ×（1-f） +8α3r3+36（1-f）
α2r2+108（1-f）2αr+108（1-f）2｝
3. 比较两种方法的测算结果。将两种方法的计算结果即式（6）和式（9）作差，比较其大小，得到关于f、α和r的三元多次表达式。由于难以直接判别其正负，故令α=0.75，即所得税税率设定为25%。后经Maple软件运算，绘制出该表达式的三维坐标图，如图1所示。

f∈［0，1），r∈（0，1］，d= K*-K（即第一种方法计算所得的资金成本与第二种方法下资金成本的差异），d恒小于0。注，当f=0时，d=0，即两种计算方法所得的资本成本在不考虑筹资费用时完全相同。特别地，令f=1%（即常见的债券发行费率），将上述三维坐标图截取横截面，得到d与r的数量关系图，如图2所示。从图中可以看出，r与d的绝对值呈负相关的关系。

观察图1和图2，可以得出如下三点结论：①第二种方法测算出的资本成本大于第一种方法测算出的资本成本；②两种方法计算结果的差异与债券票面值（P）没有关系；③当筹资费率（f）一定时，票面利率（r）与两种方法计算结果的差异（d）的绝对值之间呈负相关关系。
4. 算例比较。为了进一步验证上述Maple推导的结论，本文将f、α、r和P在常规的债券发行条件下赋值，而后运用Maple软件进行数值计算，计算结果如右表所示。
右表中，K1为第一种方法计算得出的税后资本成本，K2为第二种方法计算得出的税后资本成本。从表中可以看出，数值计算的结果与符号计算所推导出的结论一致。另外，在常规条件下，债券发行期为三年，筹资费率在1% ~ 2%之间，债券票面利率在2.4% ~ 3.4%之间时，第一种方法比第二种方法的测算结果低4% ~ 5.5%左右。
此外，笔者运用Maple软件，以相同的方法推导并分析比较了四年期和五年期下的两种计算结果，最终得出了相同的结论。由于篇幅限制，没有将结果呈现出来。
三、结论
本文基于符号计算，用严谨的数学推导分析比较了长期债券的两种资本成本动态测算法。通过Maple软件针对三年期债务资金成本模型进行数学推导和分析后，得出以下结论：当所得税税率设定在25%时，采用目前主流书刊中介绍的第一种测算方法所得出的资本成本小于第二种方法下的资本成本，并且在常规条件下，票面利率越小，二者的差异越大。因此，使用第一种方法测算债务资本成本会得出明显偏低的数值，从而造成对资本成本的低估。

主要参考文献：
王磊．财务管理［M］．北京：中国书籍出版社，2015．
中国注册会计师协会．财务成本管理［M］．北京：中国财政经济出版社，2016．
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